Cum de a găsi limite?

Există un astfel de lucru în matematică ca limităfuncție. Pentru a înțelege cum să găsim limitele, rețineți definiția limitei unei funcții: funcția f (x) are limita L la punctul x = a dacă pentru fiecare secvență de valori ale lui x care converge la a, secvența valorilor y se apropie:

L limf (x) = L
x → a

Conceptul și proprietățile limitelor

Care este limita, puteți înțelege din exemplu. Să presupunem că avem o funcție y = 1 / x. Dacă creștem secvențial valoarea lui x și privim la ceea ce este y, obținem toate valorile descrescătoare: pentru x = 10000 y = 1/10000; la x = 1.000.000 y = 1 / 1.000.000. Ie Cu cat mai mult x, cu atat mai putin y. Dacă x = ∞, y este atât de mic încât poate fi considerat egal cu 0. Astfel, limita funcției y = 1 / x pentru x tinde la ∞ este 0. Aceasta este scrisă după cum urmează:

lim1 / x = 0
x → ∞

Limita funcției are mai multe proprietăți care trebuie memorate: aceasta va face mult mai ușor rezolvarea problemelor de găsire a limitelor:

Limita sumei este egală cu suma limitelor: lim (x + y) = lim x + lim y
Limita produsului este produsul limitelor: lim (xy) = lim x * lim y
Limita de coeficient este egală cu coeficientul limitelor: lim (x / y) = lim x / lim y
Factorul constant este luat ca semn limită: lim (Cx) = C lim x

Pentru o funcție y = 1 / x, în care x → ∞, limita este zero, ca x → 0, limita este ∞.

lim (sin x) / x = 1 x → 0

În articolul Cum se rezolvă limitele, metodologia de rezolvare a acestor probleme este descrisă în detaliu. Și vom lua în considerare mai multe exemple.

Rezolvarea unor exemple de limite

Este întotdeauna necesar să începem să găsim limitele funcțiilor prin înlocuirea în funcție cu valoarea lui x la care tinde.

Exemplul 1

Lim (x-3) = lim (3-3) = 0
x → 3

Exemplul 2

Lim [x 2 / (1-x)]. Dacă înlocuim x = ∞, obținem
x → ∞
∞ ² / (1-∞) = ∞² / (-∞).

Un infinit în numărător și numitor este redus:

∞ / (-1) = -∞. prin urmare,
Lim [x 2 / (1-x)] = -∞.
x → ∞

În aceste exemple, totul este simplu. Cu toate acestea, de obicei, limitele funcțiilor sunt căutate pentru valori ale lui x care creează o incertitudine de tip 0/0 sau ∞ / ∞. Astfel de incertitudini trebuie să fie dezvăluite.

Exemplul 3

Lim [(2x2-3x-5) / (1 + x + 3x2)]
x → ∞

Înlocuim x = ∞ și ajungem infinit în numărător și numitor, atât acolo cât și acolo în pătrat. Prin urmare, am obținut o indeterminare de tip ∞ / ∞.

Să încercăm mai întâi să împărțim ambele părți ale fracției în gradul superior - χ²:

Lim {[(2x2-3x-5) / x2] / [(1 + x + 3x2) / x2]
x → ∞
= Lim {[(2h² / x²) - (3 / x²) - (5 / x²)] / [(1 / x²) + (x / x²) + (3h² / x²)]} =
x → ∞
Lim {{2 - (3 / x) - (5 / x²)] / [(1 / x ²) + (1 / x) + 3]}
x → ∞
Pentru x = ∞, 3 / x = 0; 5 / х2 = 0; 1 / x² = 0; 1 / x = 0.

Prin urmare, din toate fracțiunile îngrozitoare de patru etaje pe care le avem încă:

Lim 2/3 = 2/3.

răspundă:

Lim [(2x2-3x-5) / (1 + x + 3x2)] = 2/3
x → ∞

În acest exemplu, puteți utiliza proprietățile limite și limita de a transforma privat în limite private, și apoi dincolo de suma numărătorul și numitorul scris ca suma limitelor.

Dacă trebuie să găsiți limita unei formulări complexe cu care nu știți ce să faceți sau pur și simplu nu aveți timp, puteți utiliza serviciul online.

Citește mai mult: