Ce este un derivat?

O funcție derivată este un element de bază încalculul diferențial. Acest element este un rezultat clar al aplicării unei anumite operații de diferențiere față de funcția inițială.

Definiția derivatului

Pentru a înțelege ce este un derivat,este necesar să știm că numele unei funcții are loc direct din cuvântul "produs", adică format dintr-o altă valoare. În acest proces, procesul de determinare a derivatului unei anumite funcții are numele - "diferențiere".

Cea mai obișnuită metodă de prezentare șiDefiniții, folosind teoria limitelor, în ciuda faptului că a apărut mult mai târziu decât calculii diferențiali. Prin definiția acestei teorii, derivatul este limita în ceea ce privește creșterea incrementului de funcții la incrementarea argumentului, dacă există o astfel de limită și cu condiția ca acest argument să tinde la o valoare zero.

Este în general acceptat că, pentru prima dată, termenul și termenul "derivat" au fost folosite în lucrările sale de un binecunoscut matematician rusesc pe nume VI Viskovatov.

Următorul exemplu mic va ajuta să înțelegeți ce este un derivat.

1. Pentru a găsi derivatul funcției f în punctul x, trebuie să determinăm valorile acestei funcții direct la punctul x și, de asemenea, la punctul x + Δx. Și Δx sunt incrementele argumentului x.
2. Găsiți incrementul pentru funcția y echivalent cu f (x + Δx) - f (x).
3. Scrieți derivatul cu ajutorul limitei raportului f '= lim (f (x + Δx) - f (x)) / Δx, calculați pentru Δx → 0.

De obicei, derivatul este notat de apostrofDirect peste o funcție diferențiată. Denumirea ca un singur apostrof denotă primul derivat, sub forma a două - a doua. Derivatul celui mai înalt ordin este, de obicei, dat de cifra corespunzătoare, de exemplu f ^ (n) - ceea ce înseamnă derivatul ordinului n, unde litera "n" este un număr întreg? 0. Derivatul de ordin zero este funcția diferențiată în sine.

Pentru a facilita diferențierea funcțiilor complicate, au fost elaborate și adoptate anumite reguli de diferențiere a funcțiilor:

• C '= 0, unde C este denumirea constantă;
• x 'este 1;
• (f + g) 'este egal cu f' + g ';
• (C * f) 'este egal cu C * f' și așa mai departe.
• Pentru diferențierea N-ori, este mai convenabil să se aplice formula Leibniz în forma: (f * g)^(N) = Σ C (n)^k* f^(N-k)* g^la, în care C (n)^la - desemnarea coeficienților binomiali.

Derivații și geometria

Interpretarea geometrică a derivatului esteîn cazul în care pentru o funcție f există un derivat finit la punctul x, atunci valoarea acestui derivat va fi egală cu tangenta unghiului de la panta în tangenta la funcția f la un anumit punct.