Cum să găsiți bisectorul unui triunghi?

Una dintre fundamentele geometriei este găsireabisectrix, o rază care împarte unghiul în jumătate. Bisectorul triunghiului face parte din bisectorul oricărui unghi. Acesta este segmentul din partea de sus a colțului până la intersecția cu partea opusă a triunghiului.

Dacă afișați bisectoarea din toate unghiurile, atunci ele se intersectează într-un punct numit centrul triunghiului înscris.

Puteți calcula bisectrix-ul dacă cunoașteți lungimea laturii pe care o împarte în jumătate sau unghiurile triunghiului.

Bisector al unui triunghi isoscel

Deoarece într-un triunghi isoscel, cele două părți sunt egale între ele, iar bisectoarea unghiurile adiacente sunt egale. pentru că unghiurile sunt de asemenea egale.

Atunci când țineți un bisector dintr-un colț, se va considera înălțimea acestui triunghi și medianul său.

Problemele, cum să găsești bisectorul unui triunghi, sunt rezolvate folosind formule.

Pentru a rezolva aceste formule în stare, trebuie să fie indicate lungimile laturilor sau unghiurile triunghiului. Cunoscându-le, puteți calcula bisectorul prin cosine sau perimetru.

De exemplu, luăm un triunghi isosceles ABC șitragem bisectrix AE la baza BC. Triunghiul AEB obținut este dreptunghiular. Bisectorul este înălțimea sa, partea AB este hypotenuse a unui triunghi drept, iar BE și AE sunt picioarele.

Se utilizează teorema pitagoreană - pătratul hypotenuseieste egală cu suma pătratelor picioarelor. Continuând din aceasta, BE = v (AB - AE). Deoarece AE este mediana triunghiului ABC, catenarul BE = BC / 2. Astfel, BE = v (AB - (BC / 4)).

Dacă este dat unghiul bazei ABC, atunci bisectorul triunghiului AEB, AE = AB / sin (ABC). Unghiul bazei este AEB, BAE = BAC / 2. Prin urmare, bisectrix AE = AB / cos (BAC / 2).

Cum să găsiți bisectorul unui triunghi inscripționat într-un alt triunghi?

În triunghiul isoccele ABC tragem partea VC în partea UA. Acest segment nu va fi nici bisectorul triunghiului, nici medianul acestuia. Aici se aplică formula lui Stewart.

Se calculează perimetrul triunghiului - suma lungimilor tuturor laturilor sale. Pentru ABC vom calcula jumătate-perimetru. Acesta este perimetrul triunghiului, împărțit în jumătate.

P = (AB + BC + AC) / 2. Folosind această formulă, calculați bisectrica trasată lateral. BK = v (4 * BC * AC * P (P-AB) / (BC + AC).

Prin teorema lui Stewart se poate observa de asemenea că bisectrica trasată pe cealaltă parte a triunghiului va fi egală cu VC, aceste două laturi ale triunghiului sunt egale una cu cealaltă.

Bisectorul unui triunghi drept

Pentru a ști cum să fii bisectorîntr-un triunghi dreptunghic, trebuie să utilizați, de asemenea, formule. Nu uitați că un unghi în mod necesar o linie dreaptă într-un triunghi dreptunghic, care este, egal cu 90 de grade. Astfel, în cazul în care bisectoarea pornind de la unghiul drept, chiar și în cazul în care condiția nu este specificată sinus sau cosinus unghiului, ele pot fi recunoscute de către cel mai mare unghi.

• Există un bisector după formula lui Stewart. Dacă există un ABK triunghi, jumătatea lui este calculată ca P = (AB + BK + AK) / 2. În urma rezultatului, calculăm bisectrixul AE = v (4 * VK * AK * P (P-AB) / (VK + AK)).
• Lungimea bisectorului este determinată în acest fel. AE = v (BK * AK) - (EB * EK), unde EB și EK sunt segmentele la care bisectorul AE împarte partea VC.
• Sau puteți folosi cosinele unghiurilor unui triunghi drept, dacă sunt cunoscute. Bisectorul este egal cu (2 * ab * (cos c / 2)) / (a ​​+ b).
• Sau găsiți un bisector ca acesta. Folosind formula (cos a) - (cos b) / 2, găsiți divizorul necesar mai târziu. În plus, înălțimea față de partea c este împărțită la valoarea obținută. Pentru a obține cosines, trebuie să cunoașteți unghiurile. Sau calculați-le, pe baza magnitudinii unicului unghi cunoscut - o linie dreaptă, la 90 de grade.

Triunghi echilateral

Într-un astfel de triunghi, toate laturile sunt egale întreele însele, și unghiurile. Prin urmare, toate bisectoarele și mediile vor fi egale. Dacă unele valori ale părților nu sunt cunoscute, atunci valoarea unei părți va fi necesară. pentru că părțile sunt egale. Și dimensiunile de unghiuri, de asemenea. Prin urmare, pentru a găsi bisectorul cu formula cosinus, trebuie să știți dacă să calculați valoarea numai a unuia dintre unghiuri.

Lungimea mediană și bisectorul triunghiului sunt - L.

Partile triunghiului sunt egale cu - a.

L = (av3) / 2.

În triunghiul ABC, bisectorul AE = (ABCv3) / 2.

Prin aceeași formulă, se calculează înălțimea și mediana unui triunghi echilateral.

Triunghiul versatil

Într-un astfel de triunghi, toate laturile au valori diferite, prin urmare bisectorii nu sunt egali.

Luați un triunghi cu valori arbitrare ale laturilor. Dacă unele valori ale laturilor nu sunt cunoscute, atunci ele sunt calculate prin formula perimetrală a triunghiului.

După bisectoarele unghiurilorse efectuează, este necesar să se adauge la denumirile lor indicele inferior1. Segmentele la care bisectrica divide partea opusă sunt de asemenea indicate cu indicele 1.

Lungimile acestor segmente sunt calculate de teorema sine.

Lungimea bisectorului este calculată ca L = vab -a1b1, unde ab sunt laturile adiacente segmentelor, iar a1b1 este produsul segmentelor. Formula se aplică tuturor laturilor unui triunghi versatil. Principalul lucru este de a cunoaște lungimea laturilor sau de a le calcula, cunoscând dimensiunile colțurilor adiacente.